Théorème de Dirichlet

Théorème

Théorème de Dirichlet :

soit $f\in L^1(\Bbb T)$
soit $x\in\Bbb T$
on définit $$\varphi(y):=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$
$\varphi$ est intégrable dans un voisinage de $x$ (on dit alors que $f$ est de Dirichlet en $x$)

$$\Huge\iff$$

$$\lim_{N\to+\infty}S_N\hat f(x)=f(x)$$

(Sommation de Cesàro, Fonction de Dirichlet)
Corollaire du théorème de Dirichlet :
On a convergence ponctuelle de $S_N\hat f(x)$ vers $f(x)$ pour les fonctions "suffisamment régulières" :

$\mathcal C^1(\Bbb T)$
Continues et $\mathcal C^1$ par morceaux
Discontinues, mais continues $\mathcal C^1$ par morceaux avec discontinuités de saut

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